已知△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周长为12,动点A的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设P、Q为E上两点,OP•OQ=0,过原点
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已知△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周长为12,动点A的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设P、Q为E上两点,OP•OQ=0,过原点
题型:不详
难度:
来源:
已知△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周长为12,动点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设P、Q为E上两点,
OP
•
OQ
=0
,过原点O作直线PQ的垂线,垂足为M,证明|OM|为定值.
答案
(1)∵|AB|+|AC|+|BC|=12,|BC|=4,
∴|AB|+|AC|=8>4,
∴A的轨迹为椭圆,且2a=8,2c=4,
∴a
2
=16,c
2
=4,b
2
=12,
∵A,B,C不能共线,∴A点不能在x轴上,
∴曲线E的方程为
x
2
16
+
y
2
12
=1(y≠0)
…(5分)
(2)证明:设直线PQ的方程为x=ny+m,
由
x=ny+m
x
2
16
+
y
2
12
=1
得(4n
2
+3)y
2
+8mny+4m
2
-48=0,
∴
y
1
+
y
2
=-
8mn
4
n
2
+3
,
y
1
•
y
2
=
4
m
2
-48
4
n
2
+3
…(2分)
∴
x
1
x
2
=(n
y
1
+m)(n
y
2
+m)=
n
2
y
1
y
2
+mn(
y
1
+
y
2
)+
m
2
=
3
m
2
-48
n
2
4
n
2
+3
…(1分)
∵
OP
•
OQ
=0
,∴x
1
x
2
+y
1
•y
2
=0,
∴
3
m
2
-48
n
2
4
n
2
+3
+
4
m
2
-48
4
n
2
+3
=0
,
∴7m
2
-48n
2
-48=0…(1分)
∵|OM|为点O(0,0)到直线PQ:x-ny-m=0的距离,
∴
|OM|=
|-m|
n
2
+1
,
∴
|OM
|
2
=
m
2
n
2
+1
…(1分)
由7m
2
-48n
2
-48=0得
m
2
=
48
7
(
n
2
+1)
…(1分)
∴
|OM
|
2
=
48
7
(
n
2
+1)
n
2
+1
=
48
7
,
∴|OM|为定值…(1分)
举一反三
直线x=ky+3与双曲线
x
2
9
-
y
2
4
=1
只有一个公共点,则k的值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数多个
题型:不详
难度:
|
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已知直角坐标平面内点A(x,y)到点F
1
(-1,0)与点F
2
(1,0)的距离之和为4.
(1)试求点A的轨迹M的方程;
(2)若斜率为
1
2
的直线l与轨迹M交于C、D两点,点
P(1,
3
2
)
为轨迹M上一点,记直线PC的斜率为k
1
,直线PD的斜率为k
2
,试问:k
1
+k
2
是否为定值?请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线y
2
=2px(p>0)交于不同的两点A、B,试确定实数a的取值范围,使|AB|≤2p.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
6
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2
.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知焦点在x轴上的椭圆
x
2
20
+
y
2
b
2
=1(b>0)
经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数m,使△ABM为直角三角形,若存在,求出m的值,若不存,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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