过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p．
题型：不详难度：来源：
| 过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p． |
答案
由题意，直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y2=2px，得x2-2（a+p）x+a2=0．
设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则 | | 4(a+p)2-4a2＞0 | | x1+x2=2(a+p) | | x1x2=a2. |
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又y1=x1-a，y2=x2-a，
∴|AB|===．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜≤2p．
解得-＜a≤-．
故a∈(-，-]时，有|AB|≤2p． |
举一反三
已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由． |
如图，已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b＞0)经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．
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如图，点F是椭圆W：+=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为，三角形ABF的面积为，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
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已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率e=，短轴长为2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，=(，)，=(，)，且•=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． |
| 求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程． |
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