已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点.(1)若椭圆的半焦距c=3,直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面

已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点.(1)若椭圆的半焦距c=3,直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点.
(1)若椭圆的半焦距c=


3
,直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,求椭圆的方程;
(2)若O(


OA


OB
=0
为坐标原点),求证:
1
a2
+
1
b2
=2

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足


3
3
≤e≤


2
2
,求椭圆长轴长的取值范围.
答案
(1)∵椭圆的半焦距c=


3

直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8,
∴2a•2b=8,





ab=2
a2-b2=3

解得a=2,b=1,
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)证明:∵椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,
∴设A(x1,y1),B(x2,y2),∵


OA


OB
,∴x1x2+y1y2=0,
y1=1-x1,y2=1-x2
∴2x1x2-(x1+x2)=0,①
又将y=1-x代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,
∵△>0,∴x1+x2=
2a2
a2+b2
x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2

代入①化简得
1
a2
+
1
b2
=2.
(3)∵e2=
c2
a2
=1-
b2
a2

1
3
≤1-
b2
a2
1
2

1
2
b2
a2
2
3

由(1)知b2=
a2
2a2-1

1
2
1
2a2-1
2
3



5
2
≤a≤


6
2

∴长轴2a∈[


5


6
].
举一反三
已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
交于A,B两点,设线段AB的中点为P,若直线的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2等于______.
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已知:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
π
6
,原点到该直线的距离为


3
2

(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆交于E,F两点,若


ED
=2


DF
,求直线EF的方程;
(3)是否存在实数k,直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点,以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+


2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足


OA


OB
<6(其中O为原点),求k的取值范围.
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一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求|PA|+|PB|的取值范围.
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已知线段AB的端点B的坐标是(1,2),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M是AB的中点.
(1)若点M的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)设直线l:x+y+3=0,求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值.
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