一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
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一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切. (1)求动圆圆心C的轨迹方程; (2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16. ①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标; ②求|PA|+|PB|的取值范围. |
答案
(1)∵动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切, ∴圆心到定点P(0,1),及定直线y=-1的距离相等 ∴圆心轨迹M是以P(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线, ∴动圆圆心C的轨迹方程是x2=4y; (2)②证明:设直线AB方程为:y=kx+b, 代入抛物线方程,消去y得:x2-4kx-4b=0. ∴x1+x2=4k,x1x2=-4b. ∵x1x2=-16,∴b=4. ∴直线AB过定点(0,4); ②由抛物线定义知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1, 又y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k,x1x2=-16. ∴|PA|+|PB|=k(x1+x2)+10=4k2+10≥10(等号当k=0时成立), ∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10,+∞). |
举一反三
已知线段AB的端点B的坐标是(1,2),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M是AB的中点. (1)若点M的轨迹为曲线C,求此曲线的方程; (2)设直线l:x+y+3=0,求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上 (1)求椭圆C的方程; (2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围; (3)设直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若以为AB直径的圆过原点,求m的值. |
过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线( )A.存在一条,且方程为2x-y-1=0 | B.存在无数条 | C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0 | D.不存在 |
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如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1). (1)求p的值; (2)求△AOB的面积.
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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}. (1)求M中点(x,y)的轨迹方程; (2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为,求a的值. |
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