已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2
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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2
题型:不详
难度:
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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k
2
的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k
2
仅有唯一直线}.
(1)求M中点(x,y)的轨迹方程;
(2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为
5
,求a的值.
答案
解(1)由题意易知,k
2
+4kx-4(y+1)=0仅有唯一解,
∴△=16x
2
+16(y+1)=0,
∴所求的轨迹方程为x
2
+y+1=0.…..…(3分)
(2)设直线y=2x+C与轨迹M相切,则
由
y=2x+C
x
2
+y+1=0
,消y可得x
2
+2x+C+1=0,
∴△=4-4(C+1)=0,即C=0,∴y=2x,
∵|CD|的最小值为
5
,
∴
|a|
5
=
5
⇒a=±5.…(10分)
举一反三
已知圆C:x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若过定点(-2,0)的直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(Ⅱ)若过定点(-1,0)且倾斜角为
π
6
的直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=x+2,与抛物线x
2
=y交于A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
)两点,l与x轴交于点C(x
C
,0).
(1)求证:
1
x
A
+
1
x
B
=
1
x
C
;
(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
x
A
+
1
x
B
与
1
x
C
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
m
-
y
2
n
=1
(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线y
2
=4x的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )
A.
3
x±y=0
B.
x±
3
y=0
C.3x±y=0
D.x±3y=0
题型:不详
难度:
|
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如图所示,F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)到F
1
、F
2
两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆C的焦点F
2
作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦长|PQ|.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知F
1
,F
2
分别是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆C的离心率e=
1
2
,F
1
也是抛物线C
1
:y
2
=-4x的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F
2
的直线l交椭圆C于D,E两点,且2
DF
2
=
F
2
E
,点E关于x轴的对称点为G,求直线GD的方程.
题型:不详
难度:
|
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