已知线段AB的端点B的坐标是(1,2),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M是AB的中点.(1)若点M的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)设直线l:x
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已知线段AB的端点B的坐标是(1,2),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M是AB的中点. (1)若点M的轨迹为曲线C,求此曲线的方程; (2)设直线l:x+y+3=0,求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值. |
答案
(1)设线段AB中点M(x,y),A(x1,y1), 由题意知:x=,y=, ∴x1=2x-1,y1=2y-2, ∵点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, ∴(2x-1+1)2+(2y-2)2=4, 整理,得x2+(y-1)2=1, ∴点M的轨迹方程是:x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆. (2)由圆的标准方程x2+(y-1)2=1, ∴圆心(0,1),半径r=1, ∵圆心到直线x+y+3=0的距离d==2, ∴圆上的点到直线的最大距离:2+1,最小距离:2-1. |
举一反三
已知椭圆C:+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上 (1)求椭圆C的方程; (2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围; (3)设直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若以为AB直径的圆过原点,求m的值. |
过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线( )A.存在一条,且方程为2x-y-1=0 | B.存在无数条 | C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0 | D.不存在 |
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如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1). (1)求p的值; (2)求△AOB的面积.
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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}. (1)求M中点(x,y)的轨迹方程; (2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为,求a的值. |
已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0, (Ⅰ)若过定点(-2,0)的直线l与圆C相切,求直线l的方程; (Ⅱ)若过定点(-1,0)且倾斜角为的直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点P的坐标. |
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