如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).(1)求p的值;(2)求△AOB的面积
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如图:已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).(1)求p的值;(2)求△AOB的面积
题型:不详
难度:
来源:
如图:已知直线与抛物线y
2
=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).
(1)求p的值;
(2)求△AOB的面积.
答案
解(1)∵OD⊥AB,∴k
OD
•k
AB
=-1.
又
k
OD
=
1
2
,∴k
AB
=-2,
∴直线AB的方程为y=-2x+5.….…(1分)
设A(x
1
,x
2
),B(x
2
,y
2
),则
由
OA⊥OB⇒
OA
•
OB
=0⇒
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0
….…(2分)
又x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+(-2x
1
+5)(-2x
2
+5)=5x
1
x
2
-10(x
1
+x
2
)+25
联立方程
y
2
=2px
y=-2x+5
消y可得4x
2
-(20+2p)x+25=0①
∴
x
1
+
x
2
=
10+p
2
,
x
1
x
2
=
25
4
….(3分)
∴
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=5×
25
4
-10×
10+p
2
+25
=
5
4
-p
,
∴
p=
5
4
当
p=
5
4
时,方程①成为8x
2
-45x+50=0显然此方程有解.
∴
p=
5
4
….…(5分)
(2)由
|AB|=
(1+
k
2
)[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
5×[
(
15
8
)
2
-25]
=
5
85
8
.…(7分)
∵
|OD|=
5
.…(8分)
∴
S
△AOB
=
1
2
|AB|•|OD|
=
1
2
×
5
×
5
85
8
=
25
17
16
….…(10分)
举一反三
已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k
2
的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k
2
仅有唯一直线}.
(1)求M中点(x,y)的轨迹方程;
(2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为
5
,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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已知圆C:x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若过定点(-2,0)的直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(Ⅱ)若过定点(-1,0)且倾斜角为
π
6
的直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=x+2,与抛物线x
2
=y交于A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
)两点,l与x轴交于点C(x
C
,0).
(1)求证:
1
x
A
+
1
x
B
=
1
x
C
;
(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
x
A
+
1
x
B
与
1
x
C
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
m
-
y
2
n
=1
(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线y
2
=4x的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )
A.
3
x±y=0
B.
x±
3
y=0
C.3x±y=0
D.x±3y=0
题型:不详
难度:
|
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如图所示,F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)到F
1
、F
2
两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆C的焦点F
2
作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦长|PQ|.
题型:不详
难度:
|
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