已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上(1)求椭圆C的方程;(2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上(1)求椭圆C的方程;(2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y-2=0上
(1)求椭圆C的方程;
(2)当直线l:y=x+m与椭圆C相交时,求m的取值范围;
(3)设直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若以为AB直径的圆过原点,求m的值.
答案
(1)直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点(2,0),(0,1),
∴a=2,b=1,
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1;
(2)直线y=x+m代入椭圆方程,消去y整理得:5x
2
+8mx+4m
2
-4=0,
∵直线l:y=x+m与椭圆C相交,
∴△=(8m)
2
-4×5×(4m
2
-4)>0,
即-16m
2
+80>0,解得-
5
<m<
5
.
(3)设A,B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
)、(x
2
,y
2
),
由(2)得x
1
+x
2
=-
8m
5
,x
1
x
2
=
4
m
2
-4
5
,
∵以为AB直径的圆过原点,
∴
OA
⊥
OB
,
∴
OA
•
OB
=0,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
∴2x
1
x
2
+m(x
1
+x
2
)+m
2
=0,
即2•
4
m
2
-4
5
-
8
m
2
5
+m
2
=0,
解得m=±
2
5
10
.
举一反三
过点P(1,1)作直线与双曲线
x
2
-
y
2
2
=1
交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线( )
A.存在一条,且方程为2x-y-1=0
B.存在无数条
C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0
D.不存在
题型:不详
难度:
|
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如图:已知直线与抛物线y
2
=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1).
(1)求p的值;
(2)求△AOB的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知k∈R,当k的取值变化时,关于x,y的方程4kx-4y=4-k
2
的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合M={(x,y)|4kx-4y=4-k
2
仅有唯一直线}.
(1)求M中点(x,y)的轨迹方程;
(2)设P={(x,y)|y=2x+a,a为常数},任取C∈M,D∈P,如果|CD|的最小值为
5
,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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已知圆C:x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若过定点(-2,0)的直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(Ⅱ)若过定点(-1,0)且倾斜角为
π
6
的直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=x+2,与抛物线x
2
=y交于A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
)两点,l与x轴交于点C(x
C
,0).
(1)求证:
1
x
A
+
1
x
B
=
1
x
C
;
(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
x
A
+
1
x
B
与
1
x
C
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?
题型:不详
难度:
|
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