已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．（1）试求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中
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已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程． |
答案
（1）因为抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2，
所以|MF|=xM+=1+=2，所以p=2，
所以抛物线C的标准方程为y2=4x；
（2）设直线l与抛物线C相交所得的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有两式相减并整理得：=，
所以kAB====2
由直线的点斜式得：y-1=2（x-2）
所以直线l的方程为：2x-y-3=0． |
举一反三
直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由． |
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知=λ1，=λ2，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由． |
已知直线l：y=2x与抛物线C：y=x2交于A（xA，yA）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（xB，yB）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
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已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又=2．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若||=，求椭圆C的方程． |
椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．
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