已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.(1)求抛物
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已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.(1)求抛物
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C
1
:y
2
=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C
2
:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x
2
+y
2
=1上.
(1)求抛物线C
1
和椭圆C
2
的标准方程;
(2)过点F的直线交抛物线C
1
于A,B两不同点,交y轴于点N,已知
NA
=
λ
1
AF
,
NB
=
λ
2
BF
,则λ
1
+λ
2
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
答案
(1)由抛物线C
1
:y
2
=2px(p>0)的焦点F(
p
2
,0
)在圆O:x
2
+y
2
=1上得:
p
2
4
=1
∴p=2,
∴抛物线C
1
:y
2
=4x(3分)
同理由椭圆C
2
:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)的上、下焦点(0,c),(0,-c)
及左、右顶点(-b,0),(b,0)均在圆O:x
2
+y
2
=1上可解得:b=c=1,
∴
a=
2
.
得椭圆C
2
:x
2
+
y
2
2
=1
.(6分)
(2)λ
1
+λ
2
是定值,且定值为-1.
设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则N(0,k).
联立方程组
y
2
=4x
y=k(x-1)
,消去y得:k
2
x
2
-(2k
2
+4)+k
2
=0,
∴△=16k
2
+16>0,且
x
1
+
x
2
=
2
k
2
+4
k
2
x
1
x
2
=1
,(9分)
由
NA
=
λ
1
AF
,
NB
=
λ
2
BF
得:λ
1
(1-x
1
)=x
1
,λ
2
(1-x
2
)=x
2
,
整理得:λ
1
=
x
1
1-
x
1
,λ
2
=
x
2
1-
x
2
,
λ
1
+λ
2
=
x
1
+
x
2
-2
x
1
x
2
1-(
x
1
+
x
2
)+
x
1
x
2
=
2
k
2
+4-2
k
2
1-
2
k
2
+4
k
2
+1
=-1
(13分)
举一反三
已知直线l:y=2x与抛物线C:y=
1
4
x
2
交于A(x
A
,y
A
)、O(0,0)两点,过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B(x
B
,y
B
).如图所示.
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标;
(3)过抛物线y=
1
4
x
2
的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点,如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB
.
(Ⅰ)求椭圆C长轴长的取值范围;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率
e=
3
2
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.
题型:不详
难度:
|
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若θ是任意实数,则方程x
2
+4y
2
sinθ=1所表示的曲线一定不是( )
A.圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,N为圆C:(x+1)
2
+y
2
=16上的一动点,点D(1,0),点M是DN的中点,点P在线段CN上,且
MP
•
DN
=0
.
(Ⅰ)求动点P表示的曲线E的方程;
(Ⅱ)若曲线E与x轴的交点为A,B,当动点P与A,B不重合时,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
•k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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