已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上是增函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,下列判断中错误的是( )A.f(5)=0B.函数f(x)在[1,2]
题型:单选题难度:简单来源:不详
已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上是增函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,下列判断中错误的是( )A.f(5)=0 | B.函数f(x)在[1,2]上单调递减 | C.函数f(x)的图象关于直线 x=1对称 | D.函数f(x)的周期是T=4 |
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答案
对于A,令x=0代入题中等式,得f(1-0)+f(1+0)=0 ∴f(1)=0,结合函数为偶函数得f(-1)=f(1)=0 再令x=2代入题中等式,,得f(1-2)+f(1+2)=0,得f(3)=-f(-1)=0 结合函数为偶函数得f(-3)=f(3)=0 最后令x=4,f(1-4)+f(1+4)=0,得f(5)=-f(-3)=0,故A项正确; 对于B,因为偶函数y=f(x)图象关于y轴对称,在区间[-1,0]上是增函数, 所以y=f(x)在区间[0,1]上是减函数, 设F(x)=f(1+x),得F(-x)=f(1-x) 因为f(1-x)+f(1+x)=0,得f(1+x)=-f(1-x), 所以F(x)=f(1+x)是奇函数,图象关于原点对称.由此可得y=f(x)图象关于点(1,0)对称. ∵区间[1,2]和区间[0,1]是关于点(1,0)对称的区间,且在对称的区间上函数的单调性一致 ∴函数f(x)在[1,2]上单调递减,故B项正确; 对于C,由B项的证明可知,y=f(x)图象关于点(1,0)对称, 若f(x)的图象同时关于直线 x=1对称,则f(x)=0恒成立, 这样与“在区间[-1,0]上f(x)是增函数”矛盾,故C不正确; 对于D,因为f(x)=f(1-(1-x))=-f(1+(1+x))=-f(x+2) 所以f(x+2)=-f(x+4),可得f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期是T=4,D项正确 故选:C |
举一反三
已知函数f(x)=aln(+x)+bx3+x2,其中a、b为常数,f(1)=3,则f(-1)=______. |
已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( )A.f(x)=-x(x+2) | B.f(x)=x(x-2) | C.f(x)=-x(x-2) | D.f(x)=x(x+2) |
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已知函数f(x)= (1)求使f(x)<0的x的集合. (2)若m<f(x)对x>0的所有实数恒成立,求m的取值范围. |
设函数f(x)的定义域为R,且f(x)是以3为周期的奇函数,f(1)>1,f(2)=loga2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是( )A.a>1 | B.0<a<1或a>2 | C.<a<1 | D.0<a<1 |
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设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,若f(1)<0,f(2)=(a-1)(2a+3),则a的取值范围是______. |
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