设a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设x0≥1，f（x0）≥1，且f（f（x0））=x0，求证：f（x
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设a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x0≥1，f（x0）≥1，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0． |
答案
（1）f′（x）=3x2-a
若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，
则须y′≤0，即α≥3x2恒成立，
这样的实数a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；
若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x2恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x2≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；
（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．
假设f（x0）≠x0，若1≤x0＜f（x0），则f（x0）＜f（f（x0））=x0，矛盾； …（8分）
若1≤f（x0）＜x0，则f（f（x0））＜f（x0），即x0＜f（x0），矛盾，…（10分）
故只有f（x0）=x0成立． |
举一反三
| y=的递减区间是______，y=的递减区间是______． |
| 设y=f（x）是R上的减函数，则y=f（x2-2x+3）的单调递减区间______． |
已知直线l：y=kx，圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（I）当b=1时，求k的值；
（II）若k＞3时，求b的取值范围． |
已知f（x）的定义域为x∈R且x≠1，已知f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）=2x2-x+1，那么，当x＞1时，f（x）的递减区间是（ ）| A．[，+∞) | B．[1，] | C．[，+∞) | D．(1，] |
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定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）如果当x∈（-∞，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在满足条件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a2）＞0的a的集合． |
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