定义在R上的函数f(x)满足:对任意x、y∈R都有f(x)+f(y)=f( x+y).(1)求证:函数f(x)是奇函数;(2)如果当x∈(-∞,0)时,有f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足:对任意x、y∈R都有f(x)+f(y)=f( x+y). (1)求证:函数f(x)是奇函数; (2)如果当x∈(-∞,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数; (3)在满足条件(2)求不等式f(1-2a)+f(4-a2)>0的a的集合. |
答案
(1)、证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式, 得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y), 得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x). 即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立, 所以f(x)是奇函数. (2)、任取-1<x1<x2<1,则x1-x2<0, 由题设x<0时,f(x)>0,可得f(x1-x2)>0 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0 故有f(x1)>f(x2) 所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数. (3)、任取x1<x2,则x1-x2<0, 由题设x<0时,f(x)>0,可得f(x1-x2)>0 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0 故有f(x1)>f(x2) 所以f(x)在R上是单调递减函数. 由题意可知:f(x)奇函数,f(1-2a)+f(4-a2)>0 所以f(1-2a)>f(a2-4) 又因为f(x)在R上是单调递减函数. 所以1-2a<a2-4, 解得:(-∞,-1-)∪(-1+,+∞). |
举一反三
函数f(x)=,若f(x0)=1,则x0等于( ) |
已知函数f(x)=(a≠0). (1)试求函数f(x)的单调区间; (2)a>0,h(x)=ax2+2ax,g(x)=ex,若在(0,+∞)上至少存在一点x0,使h(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围. |
已知:函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,而且在[0,2]上是增函数,且f(x)满足不等式f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. |
已知g(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且在区间[0,1]上满足三个条件:①对于任意的x1,x2∈[0,1],当x1<x2时,恒有g(x1)≤g(x2)成立,②g()=g(x),③g(x)+g(1-x)=1.则g()+g()+g()=( ) |
设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=5,且f(1)=10,则f(2009)=( ) |
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