已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又AM=2MB.(Ⅰ)求椭
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又AM=2MB.(Ⅰ)求椭
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),经过点(3,-2)与向量(-1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
AM
=2
MB
.
(Ⅰ)求椭圆C长轴长的取值范围;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求椭圆C的方程.
答案
(I)设直线l与椭圆C交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,和x轴交于M(1,0)点.
由
AM
=2
MB
,知y
1
=-2y
2
,
将x=1-y代入
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,得(
a
2
+
b
2
)y
2
-2b
2
y+b
2
(1-a
2
)=0,①
由韦达定理,知
y
1
+
y
2
=
2
b
2
a
2
+
b
2
=-
y
2
,②
y
1
y
2
=
b
2
(1-
a
2
)
a
2
+
b
2
=-2
y
2
2
,③
②
2
③
得b
2
=
a
2
(1-
a
2
)
a
2
-9
,④
对方程①由△=4b
4
-4b
2
(a
2
+b
2
)(1-a
2
)>0,得a
2
+b
2
>1.⑤
将④代入⑤,得
a
2
+
a
2
(1-
a
2
)
a
2
-9
>1
,解得1<a
2
<9,
又由a>b及④,得a
2
<5,∴1<a
2
<5,∴1<a<
5
.
∴所求椭圆长轴长的取值范围是(2,2
5
).
(II)由(I)中②③得,
|AB|=
2
|y
1
-y
2
|=
2
•
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
2
2
ab
a
2
+
b
2
-1
a
2
+
b
2
,
∵|
AB
|=
3
2
2
,∴
2
2
ab
a
2
+
b
2
-1
a
2
+
b
2
=
3
2
2
,⑥
联立④⑥,解得a
2
=3,b
2
=1,
∴椭圆C的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
.
举一反三
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率
e=
3
2
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.
题型:不详
难度:
|
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若θ是任意实数,则方程x
2
+4y
2
sinθ=1所表示的曲线一定不是( )
A.圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,N为圆C:(x+1)
2
+y
2
=16上的一动点,点D(1,0),点M是DN的中点,点P在线段CN上,且
MP
•
DN
=0
.
(Ⅰ)求动点P表示的曲线E的方程;
(Ⅱ)若曲线E与x轴的交点为A,B,当动点P与A,B不重合时,设直线PA与PB的斜率分别为k
1
,k
2
,证明:k
1
•k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
(a>b>0)的离心率
e=
6
3
,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:x
2
=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点F的距离为
17
4
.
(1)求P与m的值;
(2)若直线l过焦点F交抛物线于P,Q两点,且|PQ|=5,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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