已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P
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已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
6
3
,右焦点为(2
2
,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
答案
(Ⅰ)由已知得,c=
2
2
,
c
a
=
6
3
,
解得a=
2
3
,又b
2
=a
2
-c
2
=4,
所以椭圆G的方程为
x
2
12
+
y
2
4
=1
.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,
由
y=x+m
x
2
12
+
y
2
4
=1
得4x
2
+6mx+3m
2
-12=0.①
设A,B的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
),AB的中点为E(x
0
,y
0
),
则x
0
=
x
1
+
x
2
2
=-
3m
4
,
y
0
=x
0
+m=
m
4
,
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=
2-
m
4
-3+
3m
4
=-1
,
解得m=2.
此时方程①为4x
2
+12x=0.
解得x
1
=-3,x
2
=0,
所以y
1
=-1,y
2
=2,
所以|AB|=3
2
,此时,点P(-3,2).
到直线AB:y=x+2距离d=
|-3-2+2|
2
=
3
2
2
,
所以△PAB的面积s=
1
2
|AB|d=
9
2
.
举一反三
(A题)已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点,直线l是圆在P点处的切线,动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A(-1,0)和B(1,0),则抛物线焦点F的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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(A题)如图,在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
8
=1(a>0)中,F
1
,F
2
分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF
1
交y轴于点E,且点F
1
,F
2
三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF
2
为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S
△A
F
1
O
S
△AEO
,n=
S
△C
F
1
O
S
△CEO
,求m+n的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(B题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2
3
,离心率为
3
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,1),过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为K
PM
、K
PN
,当
K
PM
•
K
PN
=-
1
4
时,则椭圆方程为( )
A.
x
2
16
+
y
2
4
=1
B.
x
2
4
+
y
2
2
=1
C.
x
2
+
y
2
4
=1
D.
x
2
4
+
y
2
=1
题型:不详
难度:
|
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过椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点
(-1,
2
2
)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C的左、右顶点A、B,左、右焦点分别为F
1
,F
2
,P为以F
1
F
2
为直径的圆上异于F
1
,F
2
的动点,问
AP
•
BP
是否为定值,若是求出定值,不是说明理由?
(3)是否存在过点Q(-2,0)的直线l与椭圆C交于两点M、N,使得
|FD|=
1
2
|MN|
(其中D为弦MN的中点)?若存在,求出直线l的方程:若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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