(200个•陕西)已知椭圆C:x2个2+y2b2=1(个>b>0)的离心率为左3,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交

(200个•陕西)已知椭圆C:x2个2+y2b2=1(个>b>0)的离心率为左3,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交

题型:不详难度:来源:
(200个•陕西)已知椭圆C:
x2
2
+
y2
b2
=1
(个>b>0)的离心率为


3
,短轴一个端点到右焦点的距离为


3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于个、B两点,坐标原点O到直线l的距离为


3
2
,求△个OB面积的最大值.
答案
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意





c
a
=


6
3
a=


3
∴b=1,∴所求椭圆方程为
x
3
+y=1

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x,y).
(1)当AB⊥x轴时,|AB|=


3

(上)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知
|m|


1+k
=


3
,得m=
3
r
(k+1)

把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k+1)x+6kmx+3m-3=0,
x1+x=
-6km
3k+1
x1x=
3(m-1)
3k+1

∴|AB|=(1+k)(x-x1
=(1+k)[
36km
(3k+1)
-
1上(m-1)
3k+1
]

=
1上(k+1)(3k+1-m)
(3k+1)

=
3(k+1)(9k+1)
(3k+1)

=3+
1上k
9kr+6k+1

=3+
1上
9k+
1
k
+6
(k≠0)≤3+
1上
上×3+6
=r

当且仅当9k=
1
k
,即k=±


3
3
时等号成立.当k=0时,|AB|=


3

综上所述|AB|max=上.∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值S=
1
×|AB|max×


3
=


3
举一反三
已知椭圆C:
x2
2
+y2=1
的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,点P是椭圆上任一点,⊙M是以PF2为直径的圆.
(Ⅰ)当⊙M的面积为
π
8
时,求PA所在直线的方程;
(Ⅱ)当⊙M与直线AF1相切时,求⊙M的方程;
(Ⅲ)求证:⊙M总与某个定圆相切.
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直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么实数k的值是(  )
A.k=±1B.k=±


3
C.k=±1或k=±


3
D.k=±


2
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斜率为1,过抛物线y=
1
4
x2的焦点的直线截抛物线所得的弦长为(  )
A.8B.6C.4D.10
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平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)右焦点的直线x+y-


3
=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为
1
2

(Ⅰ)求M的方程
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标平面内一点,且|OP|=


7
2


PF1


PF2
=
3
4
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点,且|


F1M
|=2|


F1N
|
,求直线L的方程.
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