已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标平面内一点,且|OP|=72,PF1•PF2=34(O为
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标平面内一点,且|OP|=72,PF1•PF2=34(O为
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,其左、右焦点分别为F
1
,F
2
,点P是坐标平面内一点,且|OP|=
7
2
,
P
F
1
•
P
F
2
=
3
4
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过F
1
的直线L与该椭圆相交于M、N两点,且
|
F
1
M
|=2|
F
1
N
|
,求直线L的方程.
答案
(1)设P(x
0
,y
0
),F
1
(-c,0),F
2
(c,0).
则由
|OP|=
7
2
,得
x
0
2
+
y
0
2
=
7
4
.
由
P
F
1
•
P
F
2
=
3
4
,得
(-c-
x
0
,-
y
0
)•(c-
x
0
,-
y
0
)=
3
4
.
即
x
0
2
+
y
0
2
-
c
2
=
3
4
,∴c=1.
又∵
c
a
=
2
2
,∴a
2
=2,b
2
=1.
因此所求椭圆的方程为:
x
2
2
+
y
2
=1
;
(2)设直线L的方程为y=k(x+1),
联立
x
2
2
+
y
2
=1
y=k(x+1)
,得(1+2k
2
)x
2
+4k
2
x+2(k
2
-1)=0.
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
∴
x
1
+
x
2
=-
4
k
2
2
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
2(
k
2
-1)
2
k
2
+1
.
∵y
1
=-2y
2
,
∴
-
y
2
=
y
1
+
y
2
=k(
x
1
+
x
2
+2)=
2k
2
k
2
+1
-2
y
2
2
=
y
1
y
2
=
k
2
(
x
1
x
2
+
x
1
+
x
2
+1)=-
k
2
2
k
2
+1
,解得:
k=±
14
2
.
∴直线L的方程为
y=±
14
2
(x+1)
.
即
14
x-2y+
14
=0
或
14
x+2y+
14
=0
.
举一反三
已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)问是否存在满足以下两个条件的直线l:①斜率为1;②直线被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆C
1
过原点.若存在这样的直线,请求出其方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
抛物线y
2
=2px(p>0),其准线方程为x=-1,过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
上的点P到左右两焦点F
1
,F
2
的距离之和为
2
2
,离心率为
2
2
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过右焦点F
2
的直线l交椭圆于A、B两点,若y轴上一点
M(0,
3
7
)
满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
,
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)
2
+y
2
=r
2
(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求
TM
•
TN
的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.
题型:不详
难度:
|
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