已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程
题型：不详难度：来源：
已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程． |
答案
（1）抛物线的准线：y=-，
∴点P到准线的距离为1+=2，
∴p=2，
∴抛物线方程为x2=4y．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）
由⇒x2-4kx-4=0，（△＞0恒成立）
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
则x1+x2=4k，
∵Q（x，y）是线段AB的中点，
∴，
∴k=，
∴y=x2+1，
整理，得x2-2y+2=0．
故弦AB中点Q的轨迹方程为：x2-2y+2=0． |
举一反三
| 若椭圆+=1和双曲线-=1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（ ） |
| 椭圆+=1和双曲线-=1有相同的焦点，则实数n的值是（ ） |
| 在椭圆+=1内以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为______． |
| 已知△ABC，A（-2，0），B（0，-2），第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程． |
| 若直线y=ax-1（a∈R）与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是______． |
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