选做题A.选修4-2矩阵与变换已知矩阵A=.12-14.,向量a=.74..(Ⅰ)求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2; (Ⅱ)计算A6α的值.B.选
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选做题A.选修4-2矩阵与变换已知矩阵A=.12-14.,向量a=.74..(Ⅰ)求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2; (Ⅱ)计算A6α的值.B.选
题型:不详
难度:
来源:
选做题
A.选修4-2矩阵与变换
已知矩阵
A=
.
1
2
-1
4
.
,向量
a
=
.
7
4
.
.
(Ⅰ)求A的特征值λ
1
、λ
2
和特征向量α
1
、α
2
; (Ⅱ)计算A
6
α的值.
B.选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为
x=4-2t
y=t-2
(t为参数),P是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
答案
A(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为:f(λ)=
.
λ-1
-2
1
λ-4
.
=λ
2
-5λ+6=0
得:λ
1
=2,λ
2
=3,当λ
1
=2时,解得α
1
=(2,1)
当λ
2
=3时,解得α
2
=(1,1).
(Ⅱ)由α=mα
1
+nα
2
得
2m+n=7
m+n=4
解得:
m=3
n=1
由(2)得:A
5
α=A
5
(3α
1
+α
2
)=3(A
5
α
1
)+A
5
α
2
=3(λ
1
5
α
1
)+λ
2
5
α
2
=3×2
5
×(2,1)+3
5
×(1,1)=(435,339)
B.坐标系与参数方程
直线l的参数方程为
x=4-2t
y=t-2
(t为参数)故直线l的普通方程为x+2y=0
因为p为椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
上任意点,故可设P(2cosθ,sinθ)其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离是
d=
|2cosθ+2sinθ|
1
2
+
2
2
=
2
2
|sin(θ+
π
4
)|
5
所以当
θ=kπ+
π
4
,k∈z时,d取得最大值
2
5
5
.
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的某个焦点为F,双曲线
G:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a,b>0)的某个焦点为F.
(1)请在______上补充条件,使得椭圆的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
;友情提示:不可以补充形如
a=
3
,b=1
之类的条件.
(2)命题一:“已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,定点P(m,n)满足n
2
-2pm>0,以PF为直径的圆交y轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线P(x,y),定点P,以PF为直径的圆交F(0,1)轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;
(3)证明命题一的正确性.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(b>a>0)且a∈[1,2],它的左、右焦点为F
1
,F
2
,左右顶点分别为A、B.过F
2
作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为T,交双曲线与P、Q两点.
(Ⅰ)求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直.
(Ⅱ)若M为PF
2
的中点,O为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ|AB|,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过F
1
的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)如果点A在圆x
2
+y
2
=c
2
(c为椭圆的半焦距)上,且|F
1
A|=c,求椭圆的离心率;
(2)若函数
y=
2
+lo
g
m
x
,(m>0且m≠1)的图象,无论m为何值时恒过定点(b,a),求
F
2
B
•
F
2
A
的取值范围.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点
P(
2
,-
6
2
)
,椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△ABC的面积为
18
7
2
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,其中F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,M是C
1
与C
2
在第一象限的交点,且
|
MF
2
|=
5
3
(I)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C
1
上,顶点B、D在直线7x-7y+1=0上,求直线AC的方程.
题型:天津模拟
难度:
|
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