已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的某个焦点为F,双曲线G:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的某个焦点为F.(1)请在______上补充条件,
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的某个焦点为F,双曲线G:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的某个焦点为F.(1)请在______上补充条件,
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的某个焦点为F,双曲线
G:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a,b>0)的某个焦点为F.
(1)请在______上补充条件,使得椭圆的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
;友情提示:不可以补充形如
a=
3
,b=1
之类的条件.
(2)命题一:“已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,定点P(m,n)满足n
2
-2pm>0,以PF为直径的圆交y轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线P(x,y),定点P,以PF为直径的圆交F(0,1)轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;
(3)证明命题一的正确性.
答案
(1)补充一:椭圆的离心率为
e=
6
3
,且椭圆的长轴长为
2
3
补充二:椭圆过
(
3
,0)
和
(1,
6
3
)
补充三:椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为
2
3
,且椭圆的一条准线长为
3
2
2
类似地还可以有很多补充,这里不再赘述,评卷员视实际情况给分,本题满分(2分)
(2)命题一:已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的某个焦点为F,定点P(m,n)满足
m
2
a
2
+
n
2
b
2
>1
,
以PF为直径的圆与圆x
2
+y
2
=a
2
交于A、B两点,则PA、PB与椭圆相切.(5分)
命题二:已知双曲线
G:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a,b>0)的某个焦点为F,定点P(m,n)满足
m
2
a
2
-
n
2
b
2
<1
,
以PF为直径的圆与圆x
2
+y
2
=a
2
交于A、B两点,则PA、PB与双曲线相切.(9分)
(3)证明:以PF为直径的圆的方程为
(x-m)(x-
p
2
)+y(y-n)=0
,
设A(0,y
1
),B(0,y
2
),
则
y
1
(
y
1
-n)+
1
2
pm=0
,
直线PA的方程为
y-
y
1
=
n-
y
1
m
x=
p
2
y
1
x
,即px-2y
1
y+2y
1
2
=0
联立
px-2
y
1
y+2
y
21
=0
y
2
=2px
,
消去x得到y
2
-4y
1
y+4y
1
2
=0,所以△=0,所以直线PA与抛物线相切.
同理可证PB与抛物线相切.(13分)
举一反三
如图,已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(b>a>0)且a∈[1,2],它的左、右焦点为F
1
,F
2
,左右顶点分别为A、B.过F
2
作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为T,交双曲线与P、Q两点.
(Ⅰ)求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直.
(Ⅱ)若M为PF
2
的中点,O为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ|AB|,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过F
1
的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)如果点A在圆x
2
+y
2
=c
2
(c为椭圆的半焦距)上,且|F
1
A|=c,求椭圆的离心率;
(2)若函数
y=
2
+lo
g
m
x
,(m>0且m≠1)的图象,无论m为何值时恒过定点(b,a),求
F
2
B
•
F
2
A
的取值范围.
题型:越秀区模拟
难度:
|
查看答案
已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点
P(
2
,-
6
2
)
,椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△ABC的面积为
18
7
2
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,其中F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,M是C
1
与C
2
在第一象限的交点,且
|
MF
2
|=
5
3
(I)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C
1
上,顶点B、D在直线7x-7y+1=0上,求直线AC的方程.
题型:天津模拟
难度:
|
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已知椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=1与双曲线
x
2
p
-
y
2
q
=1(m,n,p,q∈R
+
)有共同的焦点F
1
、F
2
,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF
1
|•|PF
2
|=______.
题型:不详
难度:
|
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