已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点（1）当a=14时，求实数b的取值范围；（2）当|AB|=22时，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率

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已知椭圆x²+by²=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点
（1）当a=

时，求实数b的取值范围；
（2）当|AB|=2

时，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为

时，求椭圆的方程．

答案

（1）解

x2+by2=3a

x+y-1=0

得x2+b(1-x)2=3a
∴x²（1+b）-2bx+b-3a=0
由题意得：△=4b²-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因为b＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）由（1）x1+x2=

1+b

， x1x2=

b-3a

1+b

∴|AB|=

1+1

，

4b2

(1+b)2

-4×

b-3a

1+b

整理得：b²+3b-3a-3ab+1=0，
y1+y2=2-(x1+x2)=2-

1+b

AB中点M(

1+b

，

1+b

)
由题意得：KOM=

1+b

∴b=5
∴a=

所求椭圆方程为x2+5y2=

举一反三

直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是______．

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已知椭圆

=1与双曲线

=1具有相同的焦点F₁，F₂，且顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过抛物线x²=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点，若

=λ

，求实数λ的范围．

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已知双曲线与椭圆

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

，求双曲线的方程．

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选做题
A．选修4-2矩阵与变换
已知矩阵A=

1	2
-1	4

，向量

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；（Ⅱ）计算A⁶α的值．
B．选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为

x=4-2t

y=t-2

（t为参数），P是椭圆

+y2=1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：

=1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______上补充条件，使得椭圆的方程为

+y2=1；友情提示：不可以补充形如a=

，b=1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n²-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．

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