已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点(1)当a=14时,求实数b的取值范围;(2)当|AB|=22时,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率

已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点(1)当a=14时,求实数b的取值范围;(2)当|AB|=22时,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率

题型:不详难度:来源:
已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点
(1)当a=
1
4
时,求实数b的取值范围;
(2)当|AB|=2


2
时,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为
1
5
时,求椭圆的方程.
答案
(1)解





x2+by2=3a
x+y-1=0
  得x2+b(1-x)2=3a

∴x2(1+b)-2bx+b-3a=0
由题意得:△=4b2-4(1+b)(b-3a)>0
解得b<3
又因为b>0且b≠1
∴0<b<3且b≠1

(2)设A(x1,y1) B(x2,y2) 由(1)x1+x2=
2b
1+b
,  x1x2=
b-3a
1+b

|AB|=


1+1
,   


4b2
(1+b)2
-4×
b-3a
1+b
=2


2

整理得:b2+3b-3a-3ab+1=0,
y1+y2=2-(x1+x2)=2-
2b
1+b
=
2
1+b

AB中点M(
b
1+b
,  
1
1+b
)

由题意得:KOM=
1
1+b
b
1+b
=
1
5
∴b=5
∴a=
41
18

所求椭圆方程为x2+5y2=
41
6
举一反三
直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同两个点,则实数k的取值范围是______.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
与双曲线
x2
3
-
y2
2
=1
具有相同的焦点F1,F2,且顶点P(0,b)满足cos∠F1PF2=-
1
9

(1)求椭圆的方程;
(2)设过抛物线x2=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点,若


FA


FB
,求实数λ的范围.
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已知双曲线与椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的焦点重合,它们的离心率之和为
14
5
,求双曲线的方程.
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选做题
A.选修4-2矩阵与变换
已知矩阵A=
.
12
-14
.
,向量


a
=
.
7
4
.

(Ⅰ)求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2;   (Ⅱ)计算A6α的值.
B.选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为





x=4-2t
y=t-2
(t为参数),P是椭圆
x2
4
+y2=1
上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的某个焦点为F,双曲线G:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a,b>0)的某个焦点为F.
(1)请在______上补充条件,使得椭圆的方程为
x2
3
+y2=1
;友情提示:不可以补充形如a=


3
,b=1
之类的条件.
(2)命题一:“已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,定点P(m,n)满足n2-2pm>0,以PF为直径的圆交y轴于A、B,则直线PA、PB与抛物线相切”.命题中涉及了这么几个要素:对于任意抛物线P(x,y),定点P,以PF为直径的圆交F(0,1)轴于A、B,PA、PB与抛物线相切.试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题;
(3)证明命题一的正确性.
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