已知抛物线C的方程为y=x2,过(0,1)点的直线l与C相交于点A,B,证明:OA⊥OB(O为坐标原点)
题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的方程为y=x2,过(0,1)点的直线l与C相交于点A,B,证明:OA⊥OB(O为坐标原点) |
答案
证明:由题意可知直线l的斜率存在, 设其斜率为k,则直线方程为:y=kx+1, 与抛物线方程联立,得,即x2-kx-1=0,所以x1x2=-1. 设交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0⇔x1x2+x12x22=0⇔x1x2+1=0 由韦达定理可知此式成立. 所以OA⊥OB. |
举一反三
已知抛物线C:y2=8x,直线y=2x+b与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=,求b的值. |
已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点的坐标为______. |
已知△OFQ的面积为2,且•=m, (1)设<m<4,求向量与的夹角θ的取值范围; (2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),||=c,m=(-1)c2,当||取最小值时,求此双曲线的方程. |
设椭圆E:+=1(a>b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点, (1)求椭圆E的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且⊥?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|取值范围;若不存在,说明理由. |
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点F、T、M、P满足=(1,0),=(-1,t),=,⊥,∥. (Ⅰ)当t变化时,求点P的轨迹C的方程; (Ⅱ)若过点F的直线交曲线C于A,B两点,求证:直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列. |
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