解:(Ⅰ)将y2=x代入(x-4)2+y2=r2, 并化简得x2-7x+16-r2=0, ① E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1、x2, 由此得,解得, 又r>0,所以,r的取值范围是。 (Ⅱ)不妨设E与M的四个交点的坐标为:, 则直线AC、BD的方程分别为, 解得点P的坐标为(,0), 设t=,由及(Ⅰ)知, 由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积, 则, 将代入上式,并令, 得f(t)=(7+2t)2(7-2t)=, 求导数,f′(t)=-24t2-56t+98=-2(2t+7)(6t-7), 令f′(t)=0,解得(舍去), 当时,f′(t)>0;时,f′(t)=0;时,f′(t)<0, 故当且仅当时,f(t)有最大值, 即四边形ABCD的面积最大,故所求的点P的坐标为。 |