已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程. |
答案
设M(x0,y0),则kOM=,kAB=-, 直线AB方程是y=-(x-x0)+y0. 由y2=4px可得x=,将其代入上式,整理,得 x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0.① 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,∴A(,y1)、B(,y2). ∵OA⊥OB,∴kOA•kOB=-1.∴•=-1.∴y1y2=-16p2. 根据根与系数的关系,由①可得 y1•y2=,∴=16p2. 化简,得x02+y02-4px0=0, 即x2+y2-4px=0(除去原点)为所求. ∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. 法二:设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b, 由OM⊥AB得k=-. 由y2=4px及y=kx+b消去y,得 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0. 所以x1x2=.消去x,得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2=.由OA⊥OB, 得y1y2=-x1x2,所以=-,b=-4kp. 故y=kx+b=k(x-4p).用k=-代入,得 x2+y2-4px=0(x≠0). ∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. |
举一反三
自抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点,求R点的轨迹方程. |
已知椭圆的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),直线x=4是它的一条准线. (1)求椭圆的方程; (2)设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点,求tan∠A1PA2的值; (3)若过点(1,0)的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N,求MN中点Q的轨迹方程. |
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点,满足|AB|=2,点P在线段AB上且=2,设点P的轨迹方程为C. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值. |
过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,则P点的轨迹方程为( )A.y2=4(x-2) | B.y2=-4(x+2) | C.y2=4(x+2) | D.y2=x-1 | (文)(1)已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,求点P的轨迹L的方程; (2)若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<0≤x2<x3)在(1)中的曲线L上,设BC的斜率为k,l=|BC|,求l关于k的函数解析式l=f(k); (3)由(2),求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标. |
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