A，B是抛物线y2=4ax（a＞0）上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹．
题型：不详难度：来源：
| A，B是抛物线y2=4ax（a＞0）上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹． |
答案
设P（x0，y0），则kOP=，kAB=-，直线AB方程是y=-（x-x0）+y0．
由y2=4ax可得x=，将其代入上式，整理得
x0y2-（4ay0）y-4ay02-4ax02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标．
根据韦达定理得，由①可得y1•y2=，
又∵A、B在抛物线上，∴A（，y1）、B（，y2）．
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．
∴•=-1．
∴y1y2=-16p2．
∴=16p2．
化简得x02+y02-4ax0=0，即x2+y2-4ax=0（除去原点）为所求． |
举一反三
| 已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过定点A（0，-a）以+λ为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以+2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．求动点P所形成的曲线C的方程． |
设Q是圆O′：（x+1）2+y2=8上的动点，F是抛物线y2=4x的焦点，线段FQ的垂直平分线l交半径O′Q于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l过点（0，）且与轨迹C交于不同的两点A，B，记△AB0的面积为S=f（k），若 • =m（≤m≤），求f（k）的最大值和最小值． |
已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为（ ）| A．椭圆的一部分 | B．双曲线的一部分 | | C．抛物线的一部分 | D．一条线段 |
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已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
（2）设m=时，过点A（-，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率． |
点P为圆O：x2+y2=a2（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值． |
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