已知点P(x0,y0)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,23)的双曲线C1上的一动点,点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点,设直线PA1与QA2的交
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已知点P(x0,y0)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,23)的双曲线C1上的一动点,点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点,设直线PA1与QA2的交
题型:不详
难度:
来源:
已知点P(x
0
,y
0
)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,2
3
)的双曲线C
1
上的一动点,点Q是P关于双曲线C
1
实轴A
1
A
2
的对称点,设直线PA
1
与QA
2
的交点为M(x,y),
(1)求双曲线C
1
的方程;
(2)求动点M的轨迹C
2
的方程;
(3)已知x轴上一定点N(1,0),过N点斜率不为0的直线L交C
2
于A、B两点,x轴上是否存在定点 K(x
0
,0)使得∠AKN=∠BKN?若存在,求出点K的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)可设c
1
方程为 4x
2
-9y
2
=λ,又点(6,2
3
)在曲线上代入得λ=36.
所以双曲线C
1
的方程为:
x
2
9
-
y
2
4
=1
…(4分)
(2)由题意A
1
(-3,0),A
2
(3,0),Q(x
0
,y
0
).
当P异于顶点时,
K
PA
1
=
y
x+3
=
y
0
x
0
+3
,
K
PA
2
=
y
x-3
=
-
y
0
x
0
-3
所以
y
2
x
2
-9
=
-
y
0
2
x
0
2
-9
=-
4
9
即
x
2
9
+
y
2
4
=1, (x≠±3)
.
当P为顶点时直线PA
1
与 QA
2
的交点为顶点
所以
x
2
9
+
y
2
4
=1.…(9分)
(3)设L交曲线C
2
于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),可设L方程为x=ty+1 (t≠0)
代入C
2
方程得 (9+4t
2
)y
2
+8ty-5=0
y
1
+
y
2
=
-8t
9+4
t
2
,y
1
y
2
=
-5
9+4
t
2
.
若存在N,则K
AN
+K
BN
=0 即
y
1
x
1
-
x
N
+
y
2
x
2
-
x
N
=0.
∴y
1
(ty
2
+1-x
N
)+y
2
(ty
1
+1-x
N
)=0
即 2t•
-5
9+4
t
2
+(1-x
N
)•
-8t
9+4
t
2
=0对t恒成立
所以 x
N
=
9
4
故点N坐标为(
9
4
,0)…(14分)
举一反三
设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是
( )
A.圆
B.两条平行直线
C.抛物线
D.双曲线
题型:北京
难度:
|
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已知M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:
题型:PM|-|PN
难度:
|
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已知F
1
,F
2
分别为双曲线
x
2
-
y
2
4
=1
的左、右焦点,P是双曲线上的动点,过F
1
作∠F
1
PF
2
的平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为( )
A.椭圆
B.双曲线
C.圆
D.线段
题型:不详
难度:
|
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如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
x
2
+
(y+3)
2
+
x
2
+
(y-3)
2
=10
,则点M的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线的方程为y
2
=2px(p>0),且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2,若点M在此抛物线上运动,点N与点M关于点A(1,1)对称,则点N的轨迹方程为( )
A.(x-2)
2
=-8(y-2)
B.(x-2)
2
=8(y-2)
C.(y-2)
2
=-8(x-2)
D.(y-2)
2
=8(x-2)
题型:不详
难度:
|
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