在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为-34．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）

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在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为-

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

答案

设P点的坐标为（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为-

．
∴

x+2

•

x-2

（x≠±2）
整理得P点的轨迹方程为

=1（x≠±2）
（2）设直线l的方程为x=ny+1
联立方程x=ny+1与

=1（x≠±2）得
（3n²+4）y²+6ny-9=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

-6n

3n2+4

，y₁•y₂=

-9

3n2+4

△MON的面积S=

•|OP|•|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1•y2

n2+1

3n2+4

n2+1

3(n2+1)+1

n2+1

令t=

n2+1

，则t≥1，且y=3t+

在[1，+∞）是单调递增
∴当t=1时，y=3t+

取最小值4
此时S取最大值

此时直线的方程为x=1

举一反三

在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

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在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（

，0），B（-

，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

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平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

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设F₁、F₂分别是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左右焦点．
（1）设椭圆C上点(

，

)到两点F₁、F₂距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程．

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已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且

（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(

，3)，求△QMN的面积S的最大值．

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