在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一
题型：深圳一模难度：来源：
在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）如图，设点C的坐标为（x，y）（x≠0，y≠0），
则B(x，0)， =(x，y)， =(-x，4) ，
∵⊥，
∴x•（-x）+y•4=0，即y=x2(x≠0)．
∴所求的轨迹T是除去顶点的抛物线（3分）
（Ⅱ）对函数y=x2 求导得，y′=x．
设切点坐标为(x0， x02)，则过该切点的切线的斜率是x0，
该切线方程是y-x02=x0(x-x0)．
又设点P的坐标为（t，2t-5），
∵切线过点P，
∴有2t-5-x02=x0(t-x0)，
化简，得x02-2tx0+8t-20=0．（6分）
设A、B两点的坐标分别为(x1， x12)、(x2， x22)，
则x1、x2为方程x2-2tx+8t-20=0的两根，x1+x2=2t，x1x2=8t-20．
∴xM==t
因此，当t=0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行（9分）
（Ⅲ）∵yM=(x12+x22)=[(x1+x2)2-2x1x2]=[4t2-2(8t-20)]=t2-2t+5．
∴点M的坐标为(t， t2-2t+5)．
又∵kAB==(x1+x2)=•2t=t．
∴直线AB的方程为：y-(t2-2t+5)=t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，
∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为（4，5）．（14分） |
举一反三
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（-，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程． |
平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由． |
设F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点．
（1）设椭圆C上点(，)到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程． |
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且=t（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(，3)，求△QMN的面积S的最大值． |
| 已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） |
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