某校高二年有学生320人，现随机抽取n个学生对其每天晚自习自主支配学习时间进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20

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某校高二年有学生320人，现随机抽取n个学生对其每天晚自习自主支配学习时间进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．
（Ⅰ）若学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？
（Ⅱ）问卷调查完成后，学校从第5组和第6组学生中利用分层抽样的方法抽取5名学生进行座谈，并从这5人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人．求第6组中至少有1名学生被选聘为学情调查联系人的概率．

答案

（Ⅰ）由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06．
则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50；
设第i个小矩形对应的频率和底边中点分别是p_i和x_i，
由图知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02，
x₁=5，x₂=15，x₃=25，x₄=35，x₅=45，x₆=55，x₇=65，
则高一学生每天晚自习平均自主支配时间是x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+x₄p₄+x₅p₅+x₆p₆+x₇p₇=33.6＜45，
则学校应该适当减少作业量；
（Ⅱ）第5组和第6组的频数分别是6和4，用分层抽样的方法抽取5人，则第5组应抽取3人，第6组应抽取2人，
设第5组中被抽到的3名学生分别是甲、乙、丙，第6组被抽到的2名学生分别是a、b，则从5人中抽取2人的基本事件空间
Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（甲，b），（乙，丙），（乙，a），（乙，b），
（丙，a），（丙，b），（a，b），共10个基本事件，
其中事件A=“第6组中至少有1名学生被选聘”共有7个基本事件：
（甲，a），（甲，b），（乙，a），（乙，b），（丙，a），（丙，b），（a，b），
则P（A）=

7

10

，即第6组中至少有1名学生被选聘的概率是

7

10

．