某校高一年级共有学生320人，为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的

题型：山东省模拟题难度：来源：

某校高一年级共有学生320人，为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查，根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40， 50），⑥[50，60），⑦[60，70]，得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人。
（1）求n的值；
（2）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时问少于45分钟，则学校需要减少作业量，根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）。
（3）问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7 名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人，求第3组中至少有一名学生被选聘为学情调查联系人的概率。

答案

解：（1）由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02 和0.06
则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50。
（2）设第i组的频率和频数分别是P_i和x_i，
由图知P₁=0.02，P₂=0.06，P₃=0.3，P₄=0.4，P₅=0.12，P₆=0.08，P₇=0.02，
则由x_i=50×P_i
可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1
则高一学生每天平均自主支配时间是

则学校应该想办法适当减少教师的作业布置量。
（3）第3组和第4组的频数分别是15和20，
用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽（人），
第4组应抽（人）
设第3组中被抽到的3名学生分别是甲、乙、丙，第4组被抽到的4 名学生分别是a，b，c，d
则从7人中抽取2人的基本事件空间Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），（乙，丙），（乙，a），（乙，b）．（乙，c），（乙，d），（丙，a），（丙，b），（丙，c），（丙，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共21个基本事件
其中事件A=“第3组中至少有1人被选聘”共含有15个基本事件，
则，则第3组中至少有1人被选聘的概率是。