已知c为常数，s2=1n[（x1-.x）2+（x2-.x）2+…+（xn-.x）2]，sc2=1n[（x1-c）2+（x2-c）2+…+（xn-c）2]．证明：

题型：不详难度：来源：

已知c为常数，s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．证明：s²≤s_c²，当且仅当c=

.

x

时，取“=”．

答案

证明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

2]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]，
s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2c（x₁+x₂+…+x_n）+nc²]，
∴s_c²-s²=

.

x

²-

2c

n

（x₁+x₂+…+x_n）+c²
=

.

x

²-2c•

.

x

+c²=（

.

x

-c）²≥0．
∴s_c²≥s²，当且仅当

.

x

=c时取“=”．