一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.(1)若袋中共有10个

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一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球,
①求白球的个数;
②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于,并指出袋中哪种颜色的球的个数最少.

答案

(1) ①5 ②X的分布列为:

X	0	1	2	3
P

(2)见解析

解析

(1)①记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则
P(A)=1-=,得x=5或x=14(舍去).故白球有5个.
②随机变量X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
故X的分布列为:

X	0	1	2	3
P

(2)设袋中有n个球,其中有y个黑球,
由题意得y=n,所以2y<n,2y≤n-1,故≤.
记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个黑球”为事件B,
则P(B)=
=·+·+·
=+×≤+×=.
所以白球的个数比黑球多,白球个数多于n,红球的个数少于,故袋中红球个数最少.
【方法技巧】随机变量分布列的求法
(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件,思考目标事件如何用基本事件来表示,求出随机变量所有可能的值.
(2)利用对立事件和互斥事件求出取每一个值时的概率,计算必须准确无误.
(3)注意运用分布列的两条性质检验所求概率,确保正确后列出分布列.