考察等式:C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同学用概率论方法证明等式(
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考察等式:C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同学用概率论方法证明等式(
题型:福建模拟
难度:
来源:
考察等式:
C
0m
C
rn-m
+
C
1m
C
r-1n-m
+…+
C
rm
C
0n-m
=
C
rn
(*),其中n、m、r∈N
*
,r≤m<n且r≤n-m.某同学用概率论方法证明等式(*)如下:
设一批产品共有n件,其中m件是次品,其余为正品.现从中随机取出r件产品,
记事件A
k
={取到的r件产品中恰有k件次品},则
P(
A
k
)=
C
km
C
r-kn-m
C
rn
,k=0,1,2,…,r.
显然A
0
,A
1
,…,A
r
为互斥事件,且A
0
∪A
1
∪…∪A
r
=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A
0
)+P(A
1
)+…P(A
r
)=
C
0m
C
rn-m
+
C
1m
C
r-1n-m
+…+
C
rm
C
0n-m
C
rn
,
所以
C
0m
C
rn-m
+
C
1m
C
r-1n-m
+…+
C
rm
C
0n-m
=
C
rn
,即等式(*)成立.
对此,有的同学认为上述证明是正确的,体现了偶然性与必然性的统一;但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断:
①等式(*)成立 ②等式(*)不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______.
答案
设一批产品共有n件,其中m件是次品,其余n-m件为正品.
现从中随机取出r件产品,记事件A
k
={取到的产品中恰有k件次品},则取到的产品中恰有k件次品共有
C
km
C
r-kn-m
种情况,又从中随机取出r件产品,共有
C
rn
种情况,k=0,1,…,r,故其概率为
P(
A
k
)=
C
km
C
r-kn-m
C
rn
,k=0,1,…,r.
∵A
0
,A
1
,…,A
r
为互斥事件,且A
0
∪A
1
∪…∪A
r
=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A
0
)+P(A
1
)+…P(A
r
)=
C
0m
C
rn-m
+
C
1m
C
r-1n-m
+…+
C
rm
C
0n-m
C
rn
,
所以C
m
0
C
n-m
r
+C
m
1
C
n-m
r-1
+…+C
m
r
C
n-m
0
=C
n
r
,即等式(*)成立.
从而可知正确的序号为:①③
故答案为:①③
举一反三
甲、乙两人在街头约会,约定先到者到达后须等待10分钟,这时若另一个人还没有来就可以离开,已知甲在13:30到达,假设乙在13:00-14:00之间到达,且乙在13:00-14:00之间何时到达是等可能的,则甲、乙能见面的概率是( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
6
题型:不详
难度:
|
查看答案
一枚骰子连续掷了两次,则点数之和为12或11的概率是( )
A.
1
12
B.
1
9
C.
1
8
D.
1
6
题型:不详
难度:
|
查看答案
将A、B两枚质地均匀骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问:
(1)共有多少种不同的结果?
(2)两数之和是3的概率是多少?
(3)两数之和不大于4的概率是多少?
题型:不详
难度:
|
查看答案
一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是( )
A.
1
12
B.
4
27
C.
8
27
D.
4
9
题型:不详
难度:
|
查看答案
在1,2,3,4,5五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是( )
A.0.2
B.0.25
C.0.3
D.0.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
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