某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加

题型：福建难度：来源：

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为

2

3

，科目B每次考试成绩合格的概率均为

1

2

．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

答案

设“科目A第一次考试合格”为事件A₁，“科目A补考合格”为事件A₂；
“科目B第一次考试合格”为事件B₁，“科目B补考合格”为事件B₂．
（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A₁•B₁，注意到A₁与B₁相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(A1•B1)=P(A1)×P(B1)=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
即该考生不需要补考就获得证书的概率为

1

3

．
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(ξ=2)=P(A1•B1)+P(

.

A1

•

.

A2

)
=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

1

3

+

1

9

=

4

9

．
P(ξ=3)=P(A1•

.

B1

•B2)+P(A1•

.

B1

•

.

B2

)+P(

.

A1

•A2•B2)
=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

1

6

+

1

6

+

1

9

=

4

9

，
P(ξ=4)=P(

.

A1

•A2•

.

B2

•B2)+P(

.

A1

•A2•

.

B1

•

.

B2

)
=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

18

+

1

18

=

1

9

，
∴Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．
即该考生参加考试次数的数学期望为

8

3

．