在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为5

题型：不详难度：来源：

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

5

6

、

4

5

、

3

4

、

1

3

，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

答案

设事件A_i（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)=

5

6

，P(A2)=

4

5

，P(A3)=

3

4

，P(A4)=

1

3

，
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2

.

A

3)=P(A1)P(A2)P(

.

A

3)=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

．
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(

.

A

1+A1

.

A

2+A1A2

.

A

3)=P(

.

A

1)+P(A1

.

A

2)+P(A1A2

.

A

3)=

1

6

+

5

6

×

1

5

+

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

2

．
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(

.

A

1)=

1

6

，P(X=2)=P(A1

.

A

2)=

5

6

×(1-

4

5

)=

1

6

，P(X=3)=P(A1A2A3

.

A4

)=

5

6

×

4

5

×

3

4

×

1

3

=

1

6

，P(X=4)=P(A1A2A3)=

5

6

×

4

5

×

3

4

=

1

2

，
所以，X的分布列为

E(X)=1×

1

6

+2×

1

6

+3×

1

6

+4×

1

2

=3．