a,b,c为实数,且a=b+c+1.证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

a,b,c为实数,且a=b+c+1.证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

题型:不详难度:来源:
a,b,c为实数,且a=b+c+1.证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
答案
假设两个方程都没有两个不等的实数根,则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ12=1-4b+a2-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0,
即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.
所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
解析
证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根,则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ12=1-4b+a2-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0,
即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.
所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
举一反三
已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.
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分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的命题的真假.
(1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3};
(2)p:1是奇数,q:1是质数;
(3)p:0∈,q:{x|x2-3x-5<0}R;
(4)p:5≤5,q:27不是质数;
(5)p:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2},
q:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|x<-4或x>2}.
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已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题,求a的取值范围.
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写出下列命题的否定并判断真假.
(1)p:所有末位数字是0的整数都能被5整除;
(2)q:x≥0,x2>0;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)t:某些梯形的对角线互相平分.
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指出下列命题的真假:
(1)命题“不等式(x+2)2≤0没有实数解”;
(2)命题“1是偶数或奇数”;
(3)命题“属于集合Q,也属于集合R”;
(4)命题“AAB”.
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