设命题p:∃x0∈R,x02-2ax0+2-a=0,命题q:∀x∈[1,+∞),a≤log16(3x+1),如果命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数a
题型:不详难度:来源:
设命题p:∃x0∈R,x02-2ax0+2-a=0,命题q:∀x∈[1,+∞),a≤log16(3x+1),如果命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数a的取值范围. |
答案
当命题p为真时,则方程x2-2ax+2-a=0有实根, 即△=4a2-4(2-a)≥0⇒a≥1或a≤-2, 当q为真时,即∀x∈[1,+∞),a≤log16(3x+1)恒成立, 由于f(x)=log16(3x+1)在[1,+∞)上是增函数, 所以f(x)的最小值是log16(3×1+1)=, 又a≤log16(3x+1)恒成立⇔a≤f(x)min所以a≤, 因为命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,从而p,q中一真一假. 当p真q假时即⇒a≥1; 当p假q真时即⇒-2<a≤. 综上a≥1或-2<a≤ 故实数a的取值范围是a≥1或-2<a≤. |
举一反三
已知m∈R,设命题p:关于x的不等式x2+mx+2m<0有解;命题q:若a>b,则am>bm.若命题“¬p”与“p∨q”都为真命题,求m的取值范围. |
已知m∈R,设命题P:-3≤m-5≤3;命题Q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.求使命题“P或Q”为真命题的实数m的取值范围. |
设命题p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的不等式x2+2x+a>0的解集为R,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围. |
已知命题p:∃x0∈R,使得ax02-2x0-1>0成立;命题q:函数y=loga(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数; (1)若命题¬p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围. |
已知a∈R,设p:函数f(x)=x2+(a-1)x是区间(1,+∞)上的增函数,q:方程x2-ay2=1表示双曲线. (1)若p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围. |
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