(1)证明:设C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0),则+=1 (1),+=1 (2) 两式相减得+=0 即+=0…(3分) ∴k1===- ∴k1•k2=-…(7分) (2)逆命题:设直线L1:y=k1x+p交椭圆Γ:+=1 (a>b>0)于C、D两点,交直线L2:y=k2x于点E.若k1•k2=-,则E为CD的中点.…(9分) 证法一:由方程组⇒(b2+a2)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…(10分) 因为直线L1:y=k1x+p交椭圆C、D于C、D两点, 所以△>0,即a2+b2-p2>0,设C(x1,y1)、D(x2,y2)、E(x0,y0) 则∴x0==,y0==…(12分) ⇒ 又因为k1•k2=-,所以,故E为CD的中点.…(14分) 证法二:设C(x1,y1)D(x2,y2)E(x0,y0) 则+=1 (1),+=1 (2) 两式相减得+=0 即k1==…(9分) 又∵k1•k2=- ,k2=,=即=…(12分)∴k1+=k1+ 得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0,即E为CD的中点.…(14分) (3)设直线L1:y=k1x+p,p≠0交双曲线Γ:-=1 (a>0 ,b>0)于C、D两点,交直线L2:y=k2x于点E. 则E为CD中点的充要条件是k1•k2=.…(16分) |