设命题p:关于x 的不等式x2+2ax+4>0 对一切x ∈R 恒成立,q:函数f(x)=-(4-2a)x 在(- ∞,+ ∞)上是减函数.是否存在实数a
题型:同步题难度:来源:
设命题p:关于x 的不等式x2+2ax+4>0 对一切x ∈R 恒成立,q:函数f(x)=-(4-2a)x 在(- ∞,+ ∞)上是减函数.是否存在实数a ,使得两个命题中有且仅有一个是真命题?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由. |
答案
解:假设存在实数a 使得命题p 、q 中有且仅有一个是真命题, 不妨设集合A={a|x2+2ax+4>0 对一切x ∈R 恒成立} , 集合B={a|f(x)=-(4-2a)x 在(- ∞,+ ∞)上是减函数} . 由x2+2ax+4>0 ,得Δ=(2a)2-4 ×4 <0,-2<a<2, ∴A={a|-2<a<2}. 由f(x)=-(4-2a)x 在(- ∞,+ ∞)上是减函数,得4-2a>1, 即 ∵命题p、q中有且仅有一个是真命题, ∴命题p真且命题q假,或命题p假且命题q真. ∴问题转化为求[A∩(CUB]∪[(CUA)∩B]. ∵CRA={a|a≤-2或a≥2},CRB= ∴A∩(CRB)=(CRA)∩B={a|a≤-2}, ∴实数n的取值范围是{a|a ≤-2 或 |
举一反三
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