(I)对函数)f(x)=求导,得 f′(x)===, 先证充分性:若0<a<1, ∵1<x<2,∴x-a>0,x+a>0, ∴f"(x)>0 ∴函数f(x)在区间(1,2)上递增. 再说明非必要性:∵f(x)在区间(1,2)上递增, ∴f"(x)≥0对1<x<2恒成立 即≥0对1<x<2恒成立, x2-a2≥0对1<x<2恒成立, 即a2≤x2对1<x<2恒成立, ∵1<x<2,∴1<x2<4, ∴a2≤1,即-1≤a≤1.即推不出0<a<1. ∴0<a<1是函数f(x)在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件 (II)由(I)知f′(x)==, 令f"(x)=0,得x1=a,x2=-a ①当a=0时,f(x)=x,x∈(-∞,0)时,f(x)<-6不能恒成立,不符合题意. ②当a>0时,函数y=f(x)在(-∞,-a)上递增,在(-a,0)上递减, ∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(-a) 若x∈(-∞,0)时,f(x)<2a2-6恒成立, 则需f(x)极大值=f(-a)<2a2-6 即-4a<2a2-6, 解得a>1. ③当a<0时,函数y=f(x)在(-∞,a)上递增,在(a,0)上递减, ∴函数y=f(x)在(-∞,0)上的极大值为f(a) 此时x∈(-∞,0), 若满足f(x)<2a2-6恒成立, 则需f(x)极大值=f(a)=0<2a2-6 解得a<- 故若x∈(-∞,0)时,满足f(x)<2a2-6恒成立,实数a∈(-∞,-)∪(1,+∞) |