设a、b、c 为△ABC 的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是A=90 °
题型:同步题难度:来源:
设a、b、c 为△ABC 的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是A=90 ° |
答案
证明: 充分性: ∵A=90 °,∴a2=b2+c2 , 于是方程x2+2ax+b2=0 可化为x2+2ax+a2-c2=0. ∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0, ∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 , ∴该方程有两个根x1=-(a+c) ,x2=-(a-c). 同理,另一方程x2+2cx-b2=0 可化为x2+2ex-(a2-e2)=0 , ∴x2+2cx+(c+a)(c-a)=0 , ∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0, ∴该方程有两个根x3=-(a+c) ,x4=-(c-a ).可以发现x1=x3 , ∴这两个方程有公共根, 必要性: 设α是两方程的公共根, 由①+②得2α2+2α(a+c) =0. ∵α≠0 ∴α=-(a+c), 将α=-(a+c)代入①得a2=b2+c2. ∴A=90°. 综上可知,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90° |
举一反三
求关于x的方程ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件 |
已知p :,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若是的充分不必要条件,求实数m的取值范围. |
如果a、b、c 都是实数,那么p:ac>bc ,是q:a>b 的 |
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A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |
设l ,m 均为直线,α为平面,其中lα,mα,则“l∥α ”是“l∥m” |
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 |
“”是“函数y= sin 2x取得最大值” 的 |
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |
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