下列命题中正确的有______．①∃x∈R，使sinx+cosx=2；②对∀x∈R，sinx+1sinx≥2；③对∀x∈(0，π2)，tanx+1tanx≥2；

题型：不详难度：来源：

下列命题中正确的有______．
①∃x∈R，使sinx+cosx=2；②对∀x∈R，sinx+

1

sinx

≥2；③对∀x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=

2

．

答案

∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]；
故①∃x∈R，使sinx+cosx=2错误；
④∃x∈R，使sinx+cosx=

2

正确；
∵sinx+

1

sinx

≥2或sinx+

1

sinx

≤-2，故②对∀x∈R，sinx+

1

sinx

≥2错误；
③对∀x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，由基本不等式可得③tanx+

1

tanx

≥2正确；
故答案为：③④