已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点为F1、F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于

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已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点为F₁、F₂，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设=λ。
（1）证明：λ=1-e²；
（2）若λ=，△PF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；
（3）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形。

答案

解：（1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是
由得
这里
所以点M的坐标是（）
由得
即，解得。
（2）当时，，所以
由△MF₁F₂的周长为6，得
所以
椭圆方程为。
（3）因为PF₁⊥l，
所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即
设点F₁到l的距离为d，由
得
所以，于是
即当，△PF₁F₂为等腰三角形。