平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,一2),点C满足,其中,且.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与椭圆交于两点M,N,且以M
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平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,一2),点C满足,其中,且.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与椭圆交于两点M,N,且以M
题型:不详
难度:
来源:
平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,一2),点C满足
,其中
,且
.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与椭圆
交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
为定值;
(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于
,求椭圆长轴长的取值范围。
答案
(1)
。
(2)由
以MN为直径的圆过原点O,
为定值。
(3)椭圆长轴的取值范围是
。
解析
试题分析:(1)设
,由
可得
有
,即点C的轨迹方程为
4分
(2)由
设
则
∵以MN为直径的圆过原点O,
为定值 9分
(3)
∴椭圆长轴的取值范围是
12分
点评:中档题,本题求轨迹方程,主要运用的是平面向量的线性运算及向量的坐标运算和向量的相等。研究直线与圆锥曲线的位置关系,往往应用韦达定理,通过“整体代换”,简化解题过程,实现解题目的。
举一反三
已知单位向量
,
的夹角为60°,则
。
题型:不详
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设|
a
|
= 2,|
b
|
=1,
a
与
b
夹角为60°,要使
kb
–
a
与
a
垂直,则
k
的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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如图,在
△ABC
中,设
BC,CA, AB
的长度分别为
a,b,c
,证明:
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA
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,且
,则
、
的夹角为 ( )
A.
B.
C.
D.
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若
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案均有可能
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