在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),向量e=(0,1),点B为直线x=-1上的动点,点C满足2OC=OA+OB,点M满足BM•e=0,CM•AB=0.(1)
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在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),向量e=(0,1),点B为直线x=-1上的动点,点C满足2OC=OA+OB,点M满足BM•e=0,CM•AB=0.(1)
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),向量
e
=(0,1),点B为直线x=-1上的动点,点C满足
2
OC
=
OA
+
OB
,点M满足
BM
•e=0
,
CM
•
AB
=0
.
(1)试求动点M的轨迹E的方程;
(2)试证直线CM为轨迹E的切线.
答案
(1)设B(-1,m),C(x
1
,y
1
),
由
2
OC
=
OA
+
OB
,得:2(x
1
,y
1
)=(1,0)+(-1,m),解得x
1
=0,
y
1
=
m
2
(2分)
设M(x,y),由
BM
•e=0
CM
•
AB
=0
,得
(x+1,y-m)•(0,1)=0
(x,y-
m
2
)•(-2,m)=0
⇒
x=
m
2
4
y=m
,(4分)
消去m得E的轨迹方程y
2
=4x(6分)
(2)由题设知C为AB中点,MC⊥AB,故MC为AB的中垂线,MB
∥
x轴,
设M(
y
0
4
,
y
0
),则B(-1,y
0
),C(0,
y
0
2
),
当y
0
≠0时,
k
MC
=
2
y
0
,MC的方程
y=
2
y
0
x+
y
0
2
(8分)
将MC方程与y
2
=4x联立消x,整理得:y
2
-2y
0
y+y
0
2
=0,
它有唯一解y=y
0
,即MC与y
2
=4x只有一个公共点,
又k
MC
≠0,所以MC为y
2
=4x的切线(10分)
当y
0
=0时,显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知,MC为轨迹E的切线.
举一反三
已知向量
a
=(sinθ,2cosθ),(θ∈R)
.
(1)若
b
=(1,-1)
,且
a
⊥
b
,求tanθ的值;
(2)若
c
=(cosθ,2sinθ)
,求
|
a
+
c
|
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知平面向量
a
=(2,-2),
b
=(3,4)且
a
•
b
=
a
•
c
,则|
c
|的最小值为
______.
题型:不详
难度:
|
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已知
|
a
|=4,|
b
|=3,且(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61
.
(1)求
a
与
b
的夹角
.
(2)若
AB
=
a
,
AC
=
b
,求|
BC
|
.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
,
b
满足
|
a
|=1
,
|
b
|=
3
,
a
+
b
=(
3
,1),则
|
a
-
b
|
=( )
A.0
B.4
C.2
D.
2
题型:不详
难度:
|
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已知
a
=(cos(
π
4
x), 1),
b
=(f(x), 2sin(
π
4
x))
,
a
∥
b
.数列a
n
满足
a
1
=
1
2
,
a
n+1
=f(
a
n
). n∈
N
*
.
(Ⅰ)证明:0<a
n
<a
n+1
<1;
(Ⅱ)已知
a
n
^
≥
1
2
,证明:
a
n+1
-
π
4
a
n
>
4-π
4
;
(Ⅲ)设T
n
是数列a
n
的前n项和,判断T
n
与n-3的大小,并说明理由..
题型:黄冈模拟
难度:
|
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