已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原
题型:长春模拟
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,且短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,且
OA
•
OB
=
2
3
,
S
△AOB
=
2
3
,求直线l的方程.
答案
(1)短轴长2b=2,b=1,
e=
c
a
=
2
2
又a
2
=b
2
+c
2
,所以
a=
2
,c=1
,所以椭圆的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
y=kx+m
x
2
+2
y
2
=2
,
消去y得,(1+2k
2
)x
2
+4mkx+2m
2
-2=0
x
1
+
x
2
=
-4mk
1+2
k
2
x
1
•
x
2
=
2
m
2
-2
1+2
k
2
,
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
2
3
即
3
m
2
-2
k
2
-2
1+2
k
2
=
2
3
即9m
2
=10k
2
+8
S
△AOB
=
1
2
|m||
x
1
-
x
2
|=
1
2
m
2
[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
1
2
8
m
2
(1+2
k
2
-
m
2
)
(1+2
k
2
)
2
=
2
3
即9m
2
(1+2k
2
-m
2
)=(1+2k
2
)
2
9
m
2
(1+2
k
2
-
m
2
)=(1+2
k
2
)
2
9
m
2
=10
k
2
+8
,
解得k
2
=1,m
2
=2,所以
y=±x±
2
举一反三
已知向量
a
=(1,-3),
b
=(4,2),若
a
⊥(
b
+λ
a
),其中λ∈R,则λ=______.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
、F
2
分别是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求
P
F
1
•
P
F
2
的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设
a
,
b
,
c
均为单位向量,且
a
⊥
b
,则
(
a
+
c
)•(
b
+
c
)
的最小值为( )
A.-1
B.
1-
2
C.
2
-2
D.-2
题型:东城区模拟
难度:
|
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已知:
OA
=(1,sinx-1),
OB
=(sinx+sinxcosx,sinx),f(x)=
OA
•
OB
.(x∈R)
求:(1)函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
题型:普宁市模拟
难度:
|
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已知H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
HP
•
PM
=0,
PM
=-
3
2
MQ
.
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x
0
,0),使得△ABE是等边三角形,求x
0
的值.
题型:马鞍山模拟
难度:
|
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