已知直线l:y=x+b(b∈R)与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0).(1)若直线l与圆C相切于点P,且点P在y轴上,求圆C的方程;(2)当b=2时,是否存

已知直线l:y=x+b(b∈R)与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0).(1)若直线l与圆C相切于点P,且点P在y轴上,求圆C的方程;(2)当b=2时,是否存

题型:不详难度:来源:
已知直线l:y=x+b(b∈R)与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0).
(1)若直线l与圆C相切于点P,且点P在y轴上,求圆C的方程;
(2)当b=2时,是否存在a,使得直线l与⊙C相交于A、B两点,且满足


OA


OB
=-1
,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)法一:依题意,点P的坐标为(0,b),…(1分)
∵CP⊥l,∴
0-b
a-0
×1=-1
,得b=a,…(1分)
又P(0,b)在圆C上,∴a2+b2=8,…(1分)
又∵a>0从而解得a=b=2,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.…(2分)
法二:依题意,所求圆与直线x-y+b=0相切于点P(0,b),





a2+b2=8
|a-0+b|


2
=2


2
a>0
,解得





a=2
b=2
,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(2)当b=2时,假设存在a,使直线l:y=x+2与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
联立方程组





y=x+2
(x-a)2+y2=8
  消去y得  2x2+(4-2a)x+a2-4=0
∴x1+x2=a-2,x1x2=
a2-4
2
,…(2分)
又∵y1•y2=(x1+2)(x2+2)=x1•x2+2(x1+x2)+4


OA


OB
=x1x2+y1y2=2x1x2+2(x1+x2)+4
=(a2-4)+2(a-2)+4=-1
即:a2+2a-3=0,解得:a=1或a=-3…(3分)
又∵△=(4-2a)2-8(a2-4)>0,得a2+4a-12<0⇒-6<a<2,
而a>0,
∴0<a<2
故存在a=1,使得直线l与⊙C相交于A、B两点,且满足


OA


OB
=-1
…(3分)
举一反三
若向量


a


b
满足|


a
|=


2
,|


b
|=2,且(


a
-


b
)⊥


a
,则|


a
+


b
|=______.
题型:不详难度:| 查看答案
平面内给定三个向量:


a
=(3,2),


b
=(-1,2),


c
=(4,1),解答下列问题:
(1)求3


a
+


b
-2


c

(2)求满足


a
=m


b
+n


c
的实数m和n;
(3)若(


a
+k


c
(2


b
-


a
)
,求实数k.
题型:不详难度:| 查看答案
若O是△ABC所在的平面内的一点,且满足(


BO
+


OC
)•(


OC
-


OA
)=0
,则△ABC一定是(  )
A.等边三角形B.斜三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
题型:海淀区一模难度:| 查看答案
设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(  )
A.|a|=|b|B.a•b=
1
2
C.abD.(a-b)⊥b
题型:广州模拟难度:| 查看答案
已知平面上三点A、B、C满足|


AB
|=6
|


BC
|=8
|


CA
|=10
,则


AB


BC
+


BC


CA
+


CA


AB
的值等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
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