(本小题满分14分) (1)解法一:设圆C的圆心为C,依题意得直线AC的斜率kAC=-1, ∴直线AC的方程为y-4=-(x-2),即x+y-6=0. ∵直线OA的斜率kOA==2, ∴直线OA的垂直平分线为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 解方程组得圆心C的坐标为(7,-1). 圆的半径为r=|AC|==5, 圆的方程为(x-7)2+(y+1)2=50. 解法二:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题意得 | (2-a)2+(4-b)2=r2 | =r | a2+b2=r2 |
| | , 解得圆的方程为(x-7)2+(y+1)2=50. 解法三:设圆心C的坐标为(a,b). 依题意得, 解得, ∴圆心C的坐标为(7,-1). ∴圆C的半径为r=|OC|==5.圆的方程为(x-7)2+(y+1)2=50. (2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2). 由, 消去y得2x2-(2m+16)x+m2+2m=0. ∴x1+x2=m+8, x1x2=. ∴•=(x1-2)(x2-2)+(y1-4)(y2-4)=(x1-2)(x2-2)+(-x1+m-4)(-x2+m-4)=2x1x2-(m-2)(x1+x2)+(m-4)2+4=m2+2m-(m-2)(m+8)+(m-4)2+4=m2-12m+36=(m-6)2. ∵直线l与圆C相交于不同两点, ∴<5. ∴-4<m<16. ∴•的取值范围是[0,100).…(14分) |