过点（1，0）直线l交抛物线y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物线的顶点是O．（ⅰ）证明：OA•OB为定值；（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求A

题型：不详难度：来源：

过点（1，0）直线l交抛物线y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线的顶点是O．
（ⅰ）证明：

OA

•

OB

为定值；
（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．

答案

证明：（ⅰ）设直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4，∴x1x2=

y 21

4

•

y 22

4

=1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3为定值；
（ⅱ） l与X轴垂直时，AB中点横坐标不为2，
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵AB中点横坐标为2，∴

2(k2+2)

k2

=4，∴k=±

2

，
l的方程为y=±

2

(x-1)．
|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

=4+2=6，AB的长度为6．