已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为2153．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B

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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，椭圆短轴长为2153．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B

题型：不详难度：来源：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为


6
3
，椭圆短轴长为
2


15
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求斜率k的值；
②若点M（-
7
3
，0），求证：


MA
•


MB
为定值．
答案
（Ⅰ）因为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，
由
c
a
=


6
3
②，2b=
2


15
3
③．联立①②③，
解得a2=5，b2=
5
3
，
所以椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
3
=1．
（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k2
3k2+1
，
因为AB中点的横坐标为-
1
2
，所以-
6k2
3k2+1
=-
1
2
，解得k=±


3
3
，
（2）由（1）知x1+x2=-
6k2
3k2+1
，x1x2=
3k2-5
3k2+1
，
所以


MA
•


MB
=（x1+
7
3
，y1）（x2+
7
3
，y2）=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+y1y2
=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+k2（x1+1）（x2+1）
=（1+k2）x1x2+（
7
3
+k2）（x1+x2）+
49
9
+k2
=（1+k2）
3k2-5
3k2+1
+（
7
3
+k2）（-
6k2
3k2+1
）+
49
9
+k2=
4
9
；
举一反三
中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，|F1F2|=2


13
，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求


PF1
•


PF2
的值．
题型：不详难度：| 查看答案
在边长为1的正三角形ABC中，设


BC
=


a
，


AB
=


c
，


AC
=


b
，则


a
•


b
+


b
•


c
+


c
•


a
的值是______
题型：不详难度：| 查看答案
已知向量


a
、


b
满足|


a
|=1，|


b
|=4，且


a
•


b
=2，则


a
与


b
的夹角为______．
题型：广州二模难度：| 查看答案
过双曲线
y2
3
-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：


OA
•


OB
为定值．（2）若


OB
=


AM
，求动点M的轨迹方程．
题型：不详难度：| 查看答案
点P（x，y）是函数f(x)=


3
2
sinπx(x∈[-
1
2
，
5
2
])图象上的点，已知点Q（2，0），O为坐标原点，则


OP
•


QP
的取值范围为（　　）
A．[-1，0]B．[-1，2]C．[0，3]D．[-1，


3
-1]
题型：不详难度：| 查看答案
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